兩題積分和一題冪級數~

1、 ∫ sin(x/2) cos(x/2) dx = ∫ (1/2) sin(x) dx = -(1/2) cos(x) + C --> C為積分常數 http://tw.knowledge.yahoo.com/question/?qid=1306062007419 你已經發問過的。 2、 ∫ (0~9) e^(3x+9)^0.5 dx = ∫( x=0~9 ) exp(√(3x+9)) dx ----> 定義 e^x = exp(x) 令 y = √(3x+9)　=>　dy = (3/2)*(√(3x+9))^-1 dx　=>　dx = (2/3) y dy 　x= 0 ~ 9　=>　y = 3 ~ 6 ∴∫( x=0~9 ) exp(√(3x+9)) dx = ∫( y=3~6 ) exp(y) (2/3) y dy = (2/3) y exp(y) | ( y=3~6 ) - ∫( y=3~6 ) (2/3) exp(y) dy = (2/3) y exp(y) - (2/3) exp(y) | ( y=3~6 ) = (2/3) [ 6*exp(6) - exp(6) + 3*exp(3) - exp(3)] = (10/3)*exp(6) - (4/3)*exp(3) 3、 f(x) = e^x*sinx = exp(x) * sin(x) f'(x) = exp(x) * ( sin(x) + cos(x) ) f''(x) = 2*exp(x) * cos(x) f'''(x) = 2*exp(x) * ( cos(x) - sin(x) ) f''''(x) = -4*exp(x) * sin(x) = -4 * f(x) f'''''(x) = -4 * f'(x) 將 f(x) = e^x*sinx 在 x=0 處做泰勒級數展開 f(x) = f(0) + f'(0)*x + f''(0)/2!*x^2 + f'''(0)/3!*x^3 + f''''(0)/4!*x^4 + ……… = 0 + x + x^2 + x^3 / 3 - 0 - x^5 / 30 - x^6 / 90 + ………… = x+ x^2 + x^3/3 - x^5/30 - x^6/90 + ..... 的確為該答案。 2006-06-27 14:06:08 補充： f(x)= exp(x)*sin(x) f'(x)= exp(x)*(d sin(x) / dx) + sin(x)*(d exp(x) / dx ) = exp(x)*( cos(x) ) + sin(x)*exp(x) = exp(x)*( sin(x) + cos(x) ) 2006-06-27 14:12:35 補充： 微積分的微分律： d(f(x)*g(x))/dx = (d f(x) / dx) * g(x) + f(x)*(d g(x) / dx) 對AB兩函數的乘積做微分，等於"A函數微分乘上B函數不微分"加上"B函數的微分乘上A函數"。 這個假設你知道了，所以我才直接寫結果。 2006-06-28 16:17:08 補充： 可以的！ exp(x)=1+x+x²/2!+x³/3!+ …… sin(x)=x-x³/3!+x^5/5!- …… 兩式相乘也是一種算法。 2006-06-29 13:58:29 補充： 你算錯了！你重新仔細算看看。 (1+x+x²/2!+x³/3!+ …)*(x-x³/3!+x^5/5!- …) = x - x³/6 + x^5/120 + ....... + x² - x^4/6 + x^6/120 + ..... + x³/2 - x^5/12 + x^7/240 + .. + ............................ 2006-06-30 15:23:13 補充： 消掉囉，上面的繼續寫的話就會發現x^4項的係數消掉了。