急!!!數學問題-無窮級數-15點

符號介紹： ^是次方的意思，如A^6是A的6次方的意思 *是乘號，如3*5=15，5*A=5A 1. BCDE (A)因為√5是無理數，所以除非有四捨五入否則不會有0.62這種有限小數出現， 所以這個選項一看就知道錯。 (B)1/x -1 = 1 / [(√5-1)/2 ] - 1 = 2 / (√5 - 1) - 1 (有理化分母) = 2[ (√5 + 1) ] / 4 - 1 = (√5 + 1) / 2 - 1 = (√5 - 1) / 2 (C) 1 - [ (√5 - 1) / 2 ]^2 = 1- (5 - 2√5 + 1) / 4 = 1- (3 - √5 ) / 2 = (- 1 + √5) / 2 = (√5 - 1) / 2 (D)1 + x = 1+ (√5 - 1)/2 = (√5 + 1)/2 所以1/1+x = 1/ (√5 + 1)/2 = 2 / (√5 + 1) (有理化分母) = 2 (√5 - 1) / 4 = (√5-1)/2 (E)此無窮等比級數之公比為：- x，首項為：1， 原式 = 1 / 1- (- x) = 1/(1+x)，寫到此已和(D)選項的問法一樣，所以(E)也是。 2. 妳先求出一般項(就是第n項)：1+2+3+…+n = n(n + 1) / 2 再利用Σ： Σ(k=1到n) n(n + 1) / 2 = 1/2*[ Σ(k=1到n) n^2 +Σ(k=1到n) n ] = 1/2*[ n(n + 1)(2n + 1) / 6 - n(n + 1) / 2 ] = 1/2*[ n(n + 1)(2n + 1) / 6 - 3n(n + 1) / 6 ] = 1/2*[ n(n + 1)(2n + 4) / 6 ] = n(n + 1)(n + 2) / 6 3. Σ(k=1到n) (k + 1)(k - 1) = Σ(k=1到n) k^2 - 1 = Σ(k=1到n) k^2–Σ(k=1到n) 1 = n(n + 1)(2n + 1) / 6 – n = n(2n^2 - 3n + 1) / 6 – 6n / 6 (整理與通分) = n(2n^2 - 3n + 1 - 6) / 6 (提出公因式n / 6) = n(2n^2 - 3n - 5) / 6 = n(n - 1)(2n + 5) / 6 4. 當n = 1時，原式 = 81 – 8 – 9 = 64為64的倍數 令n = k是成立，即9^k＋1 – 8k – 9 = 64 h，其中h屬於自然數。 當n = k + 1時，原式 = 9^[ (k＋1)+1 ]– 8(k + 1) – 9 = 9^(k + 2) – 8k – 17 (接著要湊出上面的式子才會有64h出現) = 9*9^(k + 1) – 8k – 17 = 9( 9^(k＋1) – 8k – 9 ) + 64k +64 = 9* 64h + 64k +64 為64之倍數 故根據數學歸納法，對於所有自然數n，9^n＋1 － 8n － 9為64的倍數，得證。