Factorization

步驟 1: f(a) = 6a^4 - 15a^3 + 10 a^2 - 1, 因為係數總和為0, 所以 f(1) = 0, 則必含有 (a-1) 的因式, f(a) / (a-1) = g(a) = 6a^3 - 9a^2 + a + 1. 步驟 2: 假設 g(x) = 6x^3 - 9x^2 + x + 1 包含 px + q 的因式, 或說 g(x) = 0 有 (px-q) = 0 或是 x = - q / p 的解 (root), 其中 p 必為 6 的因數, q 必為 1 的因數 (見附註一), 所以嘗試求 g(1), g(-1), g(1/2), g(-1/2), g(1/3), g(-1/3), g(1/6), g(-1/6) 是否為 0. 步驟 3: g(1) = 6 - 9 + 1 + 1 < 0, g(-1) = -6 - 9 - 1 + 1 < 0, g(1/2) = 6/8 - 9/4 + 1/2 + 1 = 0. 則剩下的 g(-1/2), g(1/3), g(-1/3), g(1/6), g(-1/6) 就不用再試了, 因為 g(1/2) = 0, 則 (2x - 1) 必為 g(x) 的因式. 將 g(a) 除以 (2a-1) 可得 g(a) / (2a-1) = h(a) = 3a^2 - 3a - 1 h(a) 二次式的因式分解不再贅述. 附註一 (ps 1): 要對 g(a) 再因式分解, 則需要 rational root theorem ( 詳見 http://en.wikipedia.org/wiki/Rational_root_theorem). 假設 f1(x) = ax^2 + bx + c, f2(x) = dx + e, 且 a, b, c, d, e 都是整數, 則用直式乘法將 f1(x) 與 f2(x) 相乘可得: f1(x) * f2(x) = ad x^3 + (ae+bd) x^2 + (be+cd) x + ce. 很容易可以看到, d 必為 最高次項(ad) 的因數, 且 c 必為 常數項 (ce) 的因數.