多項式方程式~!高中
設a.b.c為x^3-2x^2+x-3＝0之三根，則
1…..a^4+b^4+c^4＝?
2…...a^2×b^2+b^2×c^2+c^2×a^2＝?
3……﹙1+a^2﹚﹙1+b^2﹚﹙1+c^2﹚＝?
謝拉~!
1 則回答
最佳解答
a, b, c 為 x³ - 2x² + x – 3 = 0 之三根
⇒ abc = 3, ab + ac + bc = 1, a + b + c = 2
本題會利用到下列公式 ~
( a + b + c )² = a² + b² + c² + 2 ( ab + ac + bc )
⇒ a² + b² + c² = 2
( ab + ac + bc )² = a²b² + a²c² + b²c² + 2abc ( a + b + c )
⇒ a²b² + a²c² + b²c² = - 11
ok, 我們可以開始進行問題
(1) a^4 + b^4 + c^4
a^4 + b^4 + c^4 = ( a² + b² + c² )² - 2 ( a²b² + a²c² + b²c² )
= 4 – (-22)
= 26
(2) a²b² + a²c² + b²c²
a²b² + a²c² + b²c² = - 11
(3) ( 1 + a² ) ( 1 + b² ) ( 1 + c² )
( 1 + a² ) ( 1 + b² ) ( 1 + c² )
= 1 + c² + b² + b²c² + a² + a²c² + a²b² + a²b²c²
= 1 + ( a² + b² + c² ) + ( a²b² + a²c² + b²c² ) + a²b²c²
= 1 + 2 – 11 + 9
= 1
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