高中數學題目問題
經濟學上有所謂的72規則，意指經濟成長率維持再r%時，經濟規模達到實際兩倍所需要的最少時間約為72/r年。利用下表，從選項中選出符合此規則的年成長率。
x 1.03 1.04 1.06 1.08 1.09 2
logx 0.0128 0.0170 0.0253 0.0334 0.0374 0.3010
(1)9% (2)8% (3)6% (4)4% (5)3%
此題答案為(3)(4)(5)
這題要怎麼算?
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最佳解答
(1+r%)^t =2, t最少 72/r so (1+r%)^(72/r) >= 2
(72/r) log(1+r%) >= log(2)
(1) r=9: LH=8*log(1.09)=8*0.0374=0.2992 < log(2) (不合)
(2) r=8: LH=9*log(1.08)=9*0.0334=0.3006 < log(2) (不合)
(3) r=6: LH=12*log(1.06)=12*0.0253=0.3036 > log(2) (合)
(4) r=4: LH=18*log(1.04)=18*0.0170= 0.3060 > log(2) (合)
(5) r=3: LH=24*log(1.03)=24*0.0128=0.3072 > log(2) (合)
Ans: (3)(4)(5)
2010-02-09 12:59:25 補充：
設原規模為1,成長r%,則應乘以 1+r% (成長率2%,即變為1+0.02倍)
連續成長,so連續相乘(與複利相同),
設t年後規模2倍(變成2),so, 1*(1+r%)^t=2, 由題意知 t= 72/r即可
未知數在次方處,so,兩邊同時取對數,題目給以10為底的對數表,so,同時log_10(..)
t log(1+r%)= log(2)
由題意知 t= 72/r即可, so (72/r) log(1+r%) >= log(2)
再將 r=9, 8, 6,4,3一一代入(數據如上所列)
懂了嗎?
所謂經濟成長率 r%-->下一期的經濟規模為這一期的 1+r%
依據72規則 到達規模兩倍的時間"至少"需(72/r)年
-->(1+r%)^(72/r)>=2 兩端取對數
(72/r)*log(1+r%)>=log2=0.3010
x=1.03--> r=3% .....etc
所以分別代入
x=1.03, r=3 -->24*log(1.03)=0.3072
x=1.04, r=4 -->18*log(1.04)=0.306
x=1.06, r=6 -->12*log(1.06)=0.3036
x=1.08, r=8 -->9*log(1.08)=0.3006
x=1.09, r=9 -->8*log(1.09)=0.2992
顯然只有 r =3,4,6-->3%,4%,6% 符合題目要求