統計學變異數的問題~?

題目大小寫不分; "解析" 也寫得有點問題. 應該是" X1,X2,X3,X4 是來自 N(μ,σ^2) 的隨機樣本, 也就是說: 它們是 i.i.d. N(μ,σ^2) 的. 那麼, X1-X2 與 X3-X4 就會相互獨立, 且都是 N(0,2σ^2) 變量. 它們的 mean 和 variance 是來自公式: E(X-Y)=E(X)-E(Y), Var(X-V) =Var(X)+Var(Y) 獨立性來自 (X1,X2) 與 (X3,X4) 因本來四個 r.v. 是相互獨立, 故兩兩聯合相互獨立, 這是相互獨立隨機變數的基本性質. 至於 X1-X2 與 X3-X4 仍是 normal distributed 就是常態分布的特性了. 所以, (X1-X2)^2/(2σ^2) 與 (X3-X4)^2/(2σ^2) 會是相互獨立的 χ^2(1), 從而 (X1-X2)^2/(X3-X4)^2 會服從 F(1,1), 也就是 t(1)^2, 或即 Cauchy 變量的平方. 類似地, (X1-μ)^2/σ^2 與 (X2-μ)^2/σ^2 會是相互獨立的 χ^2(1), 所以 (X1-μ)^2/(X2-μ)^2 也會是 F(1,1) distributed. 如就原題,x1,x2,x3,x4 與下面的 X1,X2,X3,X4 可說毫無干係, 根本無法求解. (在數學或統計裡, 大小寫字母代表的是不同東西!) "解析" 裡的 Xbar～N(μ,σ^2) 更是無中生有! 而且如果題中 x1,x2,x3,x4 改成 大寫 X1,X2,X3,X4, 則其平均數 Xbar 的分布是 N(μ1,σ1^2/4). 而 Xbar 的分 布也和解題無關.