知識+沒了以後誰幫我解微積分？

要學習就要多動腦動手, 不要什麼題目都找人解答. (1) x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1) 用部分分式分解. (2) x^4+x^2+1 = (x^2+x+1)(x^2-x+1) 同上. (3) 三角函數代換: x = tan(θ) (4) 同上. (5) 同上. (6) 三角函數代換: x = sin(θ). 分母有理化. (7) 分部積分. (8) 也是分部積分, 不過稍複雜些. 後面再談. (9) 有點小技巧: 先做 t = π/2-x 的變數變換, 變成 cos(t)/(sin(t)+cos(t)) 的定積分, 結果答案 1/2 就出來了. (10) 最基本的想法是三角形代換(又稱半角代換) sin(x) = 2z/(1+z^2), cos(x) = (1-z^2)/(1+z^2) (tan(x) = 2z/(1-z^2) = tan(2z)) (11) sin^(x)+3cos^2(x) = 1+2cos^2(x) = 2+cos(2x) (12) (1+cos(x))^2 = 4cos^4(x/2). 分部積分. (13) 分部積分消除 log. (8) ∫x e^x sin x cos x dx 首先, 應用分部積分 ∫e^x sin x cos x dx = ∫e^x sin(2x)/2 dx = e^x sin(2x)/2 - ∫e^x cos(2x) dx = e^x sin(2x)/2 - e^x cos(2x) - ∫e^x 2sin(2x) dx ∴ ∫e^x (1/2+2)sin(2x) dx = e^x sin(2x)/2 - e^x cos(2x) (+C1) ∴ ∫e^x sin(2x) dx = e^x[(1/5)sin(2x)-(2/5)cos(2x)] (+C1) 同樣方法可得 ∫e^x cos(2x) dx = e^x[(1/5)cos(2x)+(2/5)sin(2x)] (+C2) 因此, ∫x e^x sin x cos x dx = (1/2) ∫x e^x sin(2x) dx = (1/2)xe^x[(1/5)sin(2x)-(2/5)cos(2x)] - ∫e^x[(1/5)cos(2x)+(2/5)sin(2x)] dx = xe^x[(1/1o)sin(2x)-(1/5)cos(2x)] - (1/5)e^x[(1/5)cos(2x)+(2/5)sin(2x)] - (2/5)e^x[(1/5)sin(2x)-(2/5)cos(2x)] + C