一數列的通項a(n)滿足a(1)=1,a(n+1)=a(n)+1/a(n),問a(100)之值整數部分為何?

首先, a(n) > 0 ==> a(n+1) > a(n) > 0. 因此, a(n) 是一嚴格遞增正值數列. 令 b(n) = (a(n))^2, 則 b(n+1) = b(n) + 2 + 1/b(n) 故 b(n) + 2 < b(n+1) ≦ b(n) + 2 + 1/b(n0) 當 n ≧ n0 故 b(n0) + 2(n-n0) < b(n) ≦ b(n0) +(2+1/b(n0))(n-n0)] 則 √[(a(n0))^2+2(n-n0)] < a(n) ≦√[(a(n0))^2 +(2+1/(a(n0))^2)(n-n0)] 上下間差距是 √[(a(n0))^2 +(2+1/(a(n0))^2)(n-n0)] - √[(a(n0))^2+2(n-n0)] < [(n-n0)/(a(n0))^2] ∕ {2√[(a(n0))^2+2(n-n0)]} 因 a(1) = 1, a(2) = 1 + 1/1 = 2 取 n0 = 2 時, √[2^2+2(98)] < a(1oo) ≦ √[2^2+(2+1/2^2)(98)] 即 √200 < a(1oo) ≦ √21o.5 故 14.1421 < a(1oo) ≦ 14.5086 所以 a(1oo) 的整數部分是 14. (按: 實際遞迴計算得值 14.2137)