是否存在三個成等比數列的整數x,y,z使十進制數n=x³+y³+z³-3xyz之末兩位數字是20?

WLOG, 設 y = xr, z = xr^2. 則 xz = y^2. 故 n = x^3+y^3+z^3-3xyz = x^3+y^3+z^3-3y^3 = x^3+z^3-2y^3 = x^3+x^3r^6-2x^3r^3 = x^3(r^3-1)^2 因 x, y = xr, z = xr^2 均為整數, 故 r 為有理數; 且 若 r = q/p 則 p^2 | x. 設 x = kp^2, 則 y = kpq, z = kq^2. 故 n = k^3(q^3-p^3)^2 因 n 末2位是 20, 則 2^2 | n 且 5 | n. 故 2, 5 整除 k 或 q^3-p^3. 若 2, 5 皆整除 k, 則 n 之末3位為 0. 若 2, 5 皆整除 q^3-p^3, 則 n 之末2位是 0. 但 n = k[k(q^3-p^3)]^2, 故無論 2 | k 而 5 | q^3-p^3, 或 2 | q^3-p^3, 5 | k, 結果 n 末2位都是 0. 因此, 不存在成等比之整數 x, y, z, 使 n = x^3+y^3+z^3-3xyz 之末2位是 20.